Resolução 2ª Fase OBMEP 2024 Nível 2: Análise e Estratégias

A 2ª fase da OBMEP 2024 Nível 2 foi aplicada em outubro de 2024 para alunos do 8º e 9º ano do Ensino Fundamental. É a prova que exige o maior salto de maturidade matemática dentro dos anos finais do EF — os problemas são mais abstratos do que no Nível 1 e as justificativas precisam ser mais precisas.

Este artigo analisa a prova por tema e dificuldade e explica como abordar cada tipo de problema. O objetivo é que estudantes que vão prestar a OBMEP nos próximos anos entendam o que esperar e como se preparar a partir dos vídeos de resolução do canal Só o mi.

Perfil da prova Nível 2

O Nível 2 é destinado a alunos do 8º e 9º ano do Ensino Fundamental. A prova tem 6 questões discursivas, com 3 horas de duração. Cada questão vale até 10 pontos, e a correção leva em conta não só a resposta final, mas a qualidade do raciocínio apresentado.

O que caracteriza o Nível 2 em relação ao Nível 1:

• Álgebra mais presente — equações, expressões e manipulações algébricas são mais frequentes
• Geometria mais elaborada — figuras com mais condições, cálculos de área com decomposição não-óbvia
• Combinatória com raciocínio duplo — muitas questões exigem tanto contagem quanto prova de que nenhum caso foi esquecido
• Teoria dos números mais profunda — divisibilidade, representações em bases, propriedades de potências e fatoração

Distribuição de temas na OBMEP 2024 Nível 2

A prova de 2024 cobriu os seguintes temas:

Análise por tipo de problema

Aritmética e Divisibilidade

As questões aritméticas no Nível 2 vão além da simples checagem de divisibilidade. O padrão típico envolve:

• Encontrar todos os inteiros com uma propriedade combinada (ex.: divisível por n e com determinado resto em outra divisão)
• Provar que não existem outros candidatos além dos encontrados
• Trabalhar com MDC, MMC e a identidade de Bézout de forma implícita

Como abordar:

1. Modularize o problema — expresse as condições em termos de congruências (a ≡ r mod n)
2. Liste casos sistematicamente — nos problemas do Nível 2, a lista de casos costuma ser pequena e pode ser verificada completamente
3. Prove a completude da lista — se encontrou 3 números que satisfazem a condição, prove por que não existe um 4º
4. Cuidado com a prova de impossibilidade — se a resposta for “não existe”, a prova é tão importante quanto a resposta

Geometria Plana

A geometria do Nível 2 costuma envolver:

• Figuras compostas — um polígono maior formado por figuras menores com relações entre áreas
• Triângulos com condições especiais — isósceles, equiláteros ou com ângulos dados
• Propriedades de quadriláteros — paralelogramos, trapézios e suas diagonais

Como abordar:

1. Marque todos os ângulos e comprimentos dados diretamente no desenho antes de começar a resolver
2. Procure semelhança de triângulos — no Nível 2, muitos problemas de geometria se resolvem identificando que dois triângulos são semelhantes e usando a proporção de lados
3. Use a relação de áreas com base comum ou altura comum — se dois triângulos compartilham uma base, a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas alturas; se compartilham a altura, é a razão entre as bases
4. Coordenadas como recurso — quando o problema tem muitas condições numéricas e não há insight claro, colocar figuras em um sistema cartesiano pode simplificar cálculos

Álgebra e Inequações

No Nível 2, a álgebra envolve:

• Expressões polinomiais com variáveis inteiras
• Sistemas de inequações com condições de inteiro positivo
• Otimização de expressões sobre o conjunto dos inteiros

Como abordar:

1. Identifique as variáveis e seu domínio — inteiros positivos, não-negativos, ou reais? O domínio muda completamente a abordagem
2. Complete quadrados e fatore para identificar formas convenientes
3. Procure casos extremos — qual é o menor/maior valor possível? O ótimo costuma estar na fronteira das restrições
4. Verifique se a expressão algébrica tem um significado geométrico ou combinatório — às vezes o problema fica muito mais simples quando você vê a álgebra como contagem ou como área

Combinatória

A combinatória do Nível 2 é onde a maioria dos candidatos perde pontos, porque não basta contagem — é preciso provar que a construção funciona ou que é impossível.

Padrões comuns:

• Construção + prova de optimalidade — encontrar a configuração com o maior número de elementos satisfazendo certas condições, e provar que não é possível ter mais
• Colorações — colorir um conjunto de objetos (casas de xadrez, vértices de um grafo) de modo que certas combinações sejam evitadas
• Invariantes combinatórios — provar que uma quantidade não muda ao longo de um processo, logo o estado final é determinado

Como abordar:

1. Tente construir antes de provar — experimente casos pequenos para entender o padrão antes de escrever a solução formal
2. Para limites superiores, use dupla contagem ou Pigeonhole — se você quer provar que não existem mais de k elementos com certa propriedade, muitas vezes é útil contar o total de “pares” de dois jeitos diferentes
3. Para invariantes, pergunte: “o que não muda quando faço a operação do problema? paridade? soma? produto?”

Teoria dos Números

As questões de teoria dos números do Nível 2 são geralmente as mais difíceis da prova. Elas envolvem:

• Fatoração em primos e divisores — quantos divisores tem um número? quais inteiros têm exatamente n divisores?
• Representações numéricas — um número pode ser escrito como soma de quadrados? como produto de fatores com certas propriedades?
• Equações diofantinas simples — encontrar todos os pares (x, y) de inteiros que satisfazem ax² + by² = c

Como abordar:

1. Sempre fatore — a fatoração em primos é a principal ferramenta da teoria dos números na OBMEP
2. Analise os casos de paridade e divisibilidade por primos pequenos — primos 2, 3, 5 e 7 resolvem muitos problemas
3. Descarte casos impossíveis por módulo — se x² + y² = n mod 4, os únicos quadrados módulo 4 são 0 e 1, o que elimina muitos valores de n
4. Para equações diofantinas, fatore o lado direito e analise todas as formas de escrever n como produto ab com a ≤ b

Como os corretores pontuam no Nível 2

O que diferencia quem passa de quem não passa

A 2ª fase Nível 2 seleciona os melhores candidatos entre 8º e 9º ano do EF. O que separa os medalhistas:

1. Completude sistemática — o candidato medalhista não apenas encontra a resposta; ele organiza a prova em casos e mostra que todos os casos foram cobertos
2. Uso correto da linguagem matemática — “seja n um inteiro positivo tal que…” em vez de “se n for um número…”
3. Estratégia de prova — soluciona completamente as questões 1 a 3 antes de tentar as difíceis, garantindo pontuação sólida
4. Verificação por casos extremos — o candidato que testa n = 0, n = 1, o caso mínimo e o caso máximo raramente cai em armadilhas

Como usar essa prova como preparação

O canal Só o mi publicou a resolução completa da 2ª fase OBMEP 2024 Nível 2 em vídeos individuais por questão. Cada vídeo mostra a solução completa com justificativas. A forma mais eficiente de usar esses vídeos:

1. Resolva a questão sozinho antes de assistir — mesmo que não consiga, tente por 20–30 minutos
2. Assista ao vídeo até a primeira ideia-chave — pause e tente continuar sozinho
3. Compare sua solução com a apresentada — o que faltou? a ideia foi diferente mas igualmente válida?
4. Reescreva a solução do zero, sem olhar para o vídeo, como se fosse escrever para um correto da OBMEP

Resumo: os temas que mais importam para o Nível 2

Vídeos de resolução

As soluções completas da 2ª fase OBMEP 2024 Nível 2 foram publicadas pelo canal Só o mi:

• Questão 1 — Resolução completa
• Questão 2 — Resolução completa
• Questão 3 — Resolução completa
• Questão 4 — Resolução completa
• Questão 5 — Resolução completa
• Questão 6 — Resolução completa